4-вектор

4-вектор (четы́ре-ве́ктор, четырёхве́ктор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского, а в более общем случае — вектор в искривлённом четырёхмерном пространстве-времени. Компоненты любого 4-вектора, описывающего физическую систему, при переносе или повороте системы отсчёта, а также при переходе из одной системы отсчёта в другую преобразуются по одному и тому закону, задаваемому преобразованием системы отсчёта. В 4-векторе одна временна́я компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор, компоненты которого могут быть выражены в декартовых, цилиндрических, сферических и в любых других пространственных координатах.

• В современных обозначениях временно́й компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным — 1, 2, 3 (совпадающим с x, y, z; обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временна́я компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временно́й компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временну́ю компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в большинстве случаев случаях это различие подчиняется весьма простому правилу.

Примеры 4-векторов

Здесь и далее используется сигнатура [math]\displaystyle{ (+,~-,~-,~-) }[/math].

• 4-перемещение:

  [math]\displaystyle{ dx^i = (cdt,~dx,~dy,~dz), }[/math]

• 4-скорость:

  [math]\displaystyle{ u^i =\frac{dx^i}{ds}=\frac1c \frac{dx^i}{d\tau}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, [math]\displaystyle{ \tau=\frac1c\int{ds} }[/math], измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.

• 4-ускорение:

  [math]\displaystyle{ a^i =\frac{du^i}{ds}= \frac1c\frac{du^i}{d\tau}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.

• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс):

  [math]\displaystyle{ p^i = \left( \frac{\varepsilon}{c},~ p_x,~ p_y,~ p_z \right) }[/math]. Для частицы с ненулевой массой в отсутствие внешних полей [math]\displaystyle{ p^i = c\,mu^i }[/math].

• четырёхмерная плотность тока (4-ток):

  [math]\displaystyle{ j^i = (c\rho,~j_x,~j_y,~j_z); }[/math]

• волновой 4-вектор:

  [math]\displaystyle{ k_i = \left( \frac{\omega}{c}, -k_x, -k_y, -k_z \right); }[/math]

• Электромагнитный потенциал:

  [math]\displaystyle{ A_i = (\varphi,~{-A}_x,~{-A}_y,~{-A}_z). }[/math]

Свойства

• Закон преобразования четырёхвектора:

[math]\displaystyle{ \tilde A^i=\sum_j S_j^i\ A^j , }[/math]

где [math]\displaystyle{ S_j^i }[/math] — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: [math]\displaystyle{ m^2 = E^2/c^4 - p^2/c^2 }[/math] и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так, 4-вектор [math]\displaystyle{ a }[/math] обозначается как [math]\displaystyle{ a^i }[/math] (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или [math]\displaystyle{ a_i. }[/math]

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как [math]\displaystyle{ x^i. }[/math]

Что означает при этом использование верхнего ([math]\displaystyle{ a^i }[/math]) или нижнего ([math]\displaystyle{ a_i }[/math]) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

[math]\displaystyle{ (a,b) = a^i b_i \equiv \sum_i a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4 = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 }[/math]

и в частности

[math]\displaystyle{ (a)^2 = (a,a) = a^i a_i \equiv \sum_i a^i a_i = a^1 a_1 + a^2 a_2 + a^3 a_3 + a^4 a_4 = (a_1)^2 - (a_2)^2 - (a_3)^2 - (a_4)^2 }[/math]

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца [math]\displaystyle{ \eta_{ij} }[/math] (или [math]\displaystyle{ \eta^{ij} }[/math]):

[math]\displaystyle{ (a,b) = \eta_{ij} a^i b^j \equiv \sum_{i,j} \eta_{ij} a^i b^i = a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3 - a^4 b^4 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ (a,b) = \eta^{ij} a_i b_j \equiv \sum_{i,j} \eta^{ij} a_i b_i = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 }[/math]

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики [math]\displaystyle{ \eta_{ij} }[/math] приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику [math]\displaystyle{ g_{ij}. }[/math] (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить [math]\displaystyle{ \eta_{ij} }[/math] на [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math], а [math]\displaystyle{ \eta^{ij} }[/math] на [math]\displaystyle{ g^{ij} }[/math]). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестаёт действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

[math]\displaystyle{ a^i = g^{ij} a_j \equiv \sum_j g^{ij} a_j, }[/math]

[math]\displaystyle{ a_i = g_{ij} a^j \equiv \sum_j g_{ij} a^j. }[/math]

(Как видим, эти формулы были верны и для [math]\displaystyle{ \eta_{ij}, }[/math] но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат [math]\displaystyle{ x^i }[/math] уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам [math]\displaystyle{ dx^i }[/math] представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке [math]\displaystyle{ x^i }[/math]).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: [math]\displaystyle{ (\partial_0, -\partial_1, -\partial_2, -\partial_3), }[/math] так как полный дифференциал [math]\displaystyle{ df = \partial_0 f dx^0 + \partial_1 f dx^1 + \partial_2 f dx^2 + \partial_3 f dx^3 }[/math] — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за [math]\displaystyle{ \eta_{ij}. }[/math]

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишён этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже [math]\displaystyle{ \eta_{ij}, }[/math] то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение [math]\displaystyle{ dx_\mu = ( i c ~dt, dx, dy, dz ), }[/math]
• 4-импульс [math]\displaystyle{ p_\mu = ( i E / c, p_x, p_y, p_z ), }[/math]
• четырёхмерная плотность тока [math]\displaystyle{ j_\mu = ( i c \rho,j_x,j_y,j_z), }[/math]
• волновой 4-вектор [math]\displaystyle{ k_\mu = ( i \omega / c, k_x, k_y, k_z ), }[/math]
• электромагнитный потенциал [math]\displaystyle{ A_\mu = ( i \phi, A_x, A_y, A_z ), }[/math]

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

[math]\displaystyle{ \mathbf{x} := \left(ct, x, y, z \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света, [math]\displaystyle{ t }[/math] — время события, а [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 6. Четырёхмерные векторы. § 7. Четырёхмерная скорость. // Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).